设两个已知点 \(A\) 和 \(B\) 的坐标分别为 \((x_1, y_1)\) 和 \((x_2, y_2)\)，点 \(P\) 位于直线 \(AB\) 上，并且满足定比分点公式：
\[ P = \frac{kA + B}{k + 1} \]
\(k\) 是比例因子。
步骤 1: 将已知点代入公式
将已知的点 \(A\) 和 \(B\) 的坐标 \((x_1, y_1)\) 和 \((x_2, y_2)\) 到公式中，得到：
\[ P = \frac{k(x_1, y_1) + (x_2, y_2)}{k + 1} \]
这将得到一个关于 \(x_p\) 和 \(y_p\) 的方程组。
\[
\begin{cases}
P_x = \frac{kx_1 + x_2}{k + 1} \\
P_y = \frac{ky_1 + y_2}{k + 1}
\end{cases}
\]
步骤 2: 解方程组
解这个方程组以得到点 \(P\) 的坐标 \((x_p, y_p)\)，可以通过交叉相乘法简化方程，从而得到：
\[
\begin{cases}
P_x(k + 1) = kx_1 + x_2 \\
P_y(k + 1) = ky_1 + y_2
\end{cases}
\]
从这两个等式中，分别解出 \(x_p\) 和 \(y_p\)：
\[
P_x = \frac{kx_1 + x_2}{k + 1}
\]
\[
P_y = \frac{ky_1 + y_2}{k + 1}
\]
示例计算
假设我们有两个点 \(A(3, -2)\) 和 \(B(-4, 1)\)，以及比例因子 \(k = 2\)，按照上述公式，我们可以计算点 \(P\) 的坐标如下：
\[
P_x = \frac{2 \cdot 3 + (-4)}{2 + 1} = \frac{6 - 4}{3} = \frac{2}{3}
\]
\[
P_y = \frac{2 \cdot (-2) + 1}{2 + 1} = \frac{-4 + 1}{3} = \frac{-3}{3} = -1
\]
点 \(P\) 的坐标是 \(\left(\frac{2}{3}, -1\right)\)。
应用实例
定比分点公式不仅是一种几何计算工具，还在许多实际问题中有广泛应用，例如在绘制地图时确保重要地点之间距离的一致性，在计算机图形学中实现透视投影和平行投影等技术，同时也是构建复杂几何结构的基础，通过理解和应用这一公式，不仅可以提高几何分析能力，还能在多个领域的工作和学习中发挥作用。
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